Grigori Perelman ou la genèse de l'espace / Entretien Jean-Clet Martin - Alexandre Gilbert

                                                                                  Grigori Perelman

Dans le livre que vous publiez ce mois aux éditions Kimé, Perelman apparaît comme  celui qui a résolu la conjecture de Poincaré, l'un des sept problèmes du prix Millenium, et refusé la médaille Fields avec le million de dollars du prix Clay, avant de se retirer du monde des mathématiques. Ce retrait vous a-t-il mis sur la piste d'une pensée de l'espace comme immanence, sans sujet surplombant ?

Il y en tout cas une certaine sagesse dans cette attitude qui repose à nouveaux frais la question : qu’importent les mathématiques si elles ne sont pas immédiatement porteuses d’une pratique d’existence, d’un souci de soi pour reprendre un mot de Foucault, lequel n’a rien à voir en effet avec les prétentions d’un sujet. Le mètre mathématique n’est pas un maître. C’est tout de même impressionnant quelqu’un qui entre sur une piste aussi difficile, se confrontant à un problème millénaire et qui ne veux pas d’un prix, ni d’une récompense, sachant que la récompense est non dans un salaire, ni dans un titre honorifique, mais dans la résolution elle-même. C’est la pratique qui mène Perelman vers une nouvelle compréhension de l’espace. On comprend dès lors qu’il s’agit avant tout de vivre dans l’espace plutôt que d’en tirer profit, d’y ouvrir des chemins qui nous conduisent vers le réel de sorte que c’est bien cette ouverture qui importe et non une médaille.

 

Vous parliez à l’instant d’ouverture. Dans Le silence de Perelman qui sort ce mois aux éditions Kimé, vous dites en gros qu’il y a des flux, vous parlez de flots. Avant Perelman, l’expression est attribuée à Ricci pour des formes qui se déforment et se lissent d’elles-mêmes vers leur état le plus simple. Peut-on voir dans cette image apparemment mathématique une métaphore ?

Des formes, dites-vous, qui vont vers leur état le plus simple… Mais, en fait, c’est loin d’être si évident ! Pourquoi iraient-elles tranquillement vers le plus simple au lieu de nous embêter, de faire obstacle ? Effort de persévérer dans l’être, voilà peut-être le mot de l’espace, de sa genèse… Parce que oui, on pourrait dire aussi bien que tout pourrait exploser. Ou se demander pourquoi tout n’est pas en train de se démembrer, de partir à la dérive, en lambeaux. Qu’est-ce qui fait tenir tout ça ? Spinoza fait un sort à l’étendue. C’est loin d’être simple, cette infinité infinie de modalités qui se déchainent dans l’espace.

Il y a deux mathématiciens qui, dans la seconde moitié du XIXᵉ siècle, sont tourmentés par ce risque assez grave : tout pourrait aller à vau-l’eau. On ne se rend pas compte de la panique qui peut s’installer chez celui qui pense. Pourquoi le réel ne se détruirait-il pas là, maintenant ou depuis le début ? L’attraction, par exemple, n’existe pas vraiment en soi pour nous garantir que les choses tiennent ensemble. Vu depuis chez nous, pour rester poétique, et dans une simple façons de parler, "le Soleil n'a pas rendez-vous avec la Lune", sauf en cas d’éclipse ! Ce n’est pas un système qui tient ces deux éléments ensemble par la gravité si on entend par là une sorte de substance. En fait, cette force est un corrélat de l’espace. C’est lui qui fait des plis, qui se creuse, qui produit des pentes.

Mais alors, comment est-ce possible ? Comment concevoir qu’il n’y ait pas de déchirures ? C’est là que je retrouve quelqu’un comme Cauchy. L’un des deux dont je parlais. Il se rend compte que les courbes ne vont pas de soi, comme si nous pouvions avoir l’assurance que rien ne les inquiète. En réalité, elles peuvent exploser, rencontrer ce qu’on appelle des singularités, et venir trouer le tissu, un peu comme si elles étaient faites de poudre. Alors une question apparaît : est-ce qu’on peut réparer ces failles ? Cauchy part, lui, des résidus d’une telle explosion. Partout des restes. L’espace pourrait peut-être savoir faire quelque chose de ses résidus. Il refait avec les ruines une association, si elle sait se laisser dériver et reconduire l’élan vers une courbe sur laquelle le Soleil et la Lune peuvent danser de concert. C’est un peu, en cherchant un style de pensée, ce que je retrouve plus tard chez Derrida : partir des restes et se demander ce qu’on peut en faire. Selon quelles traces une poursuite peut-elle se produire ? Comment refaire un trajet qui saute de l’un à l’autre de ses éclats, comme si, à partir des débris d’une amphore, on pouvait tisser des liens nouveaux, des suppléments qui nous reconduisent vers un ensemble, certes toujours menacé sur certains points.

Il y a un autre mathématicien qui pense autrement : Ricci. Lui ne passe pas par les résidus, par les restes, mais par des flots capables de confectionner un espace plus lisse. Il montre comment un flot contourne le récif, comment il glisse d’un point à un autre, entre des archipels, dans des courants qui donnent finalement de l’espace l’image de quelque chose qui fuse, qui est capable de contourner les aspérités et les difficultés d’un parcours. Les flots nous sauvent du hachoir. Et là, je me sens plus proche de Deleuze lorsqu’il parle de flux, d’un devenir créateur. Voilà que l’espace se fait un art de contourner les failles au sein d’une expansion irrémédiable. Il se trouve que Perelman va précisément retrouver, pour l’espace, tous ces détours. Ils sont porteurs d’un véritable patchwork qui permet que nous puissions, comme nous le faisons en ce moment, parler ensemble, vivre dans une sphère, dans un univers qui sans doute se serait déjà décomposé s’il n’y avait pas quelque chose comme une déformation de l’espace, une plastique qui lui appartient.

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Vous dites que « les flots nous sauvent du hachoir ». Vous passez par l’image du flux deleuzien qui contourne les failles plutôt que de les subir. Mais le flot de Ricci, chez Perelman, ne se contente pas de contourner : à un moment il faut trancher, c'est dites-vous dans votre livre la fameuse « chirurgie » : on découpe l'endroit qui s'étrangle avant de laisser le flot repartir entre ce qui reste. N'y a-t-il pas là, sous l'image du contournement, une violence simplement déplacée plutôt qu'évitée ? Et si oui, le salut de l'espace viendrait-il moins d'un art de fuir la déchirure que d'un art de savoir, à temps, où couper ?

 

On va essayer de dire ça dans un langage pas trop athlétique, et de relâcher un peu les tensions avant de parler d’une opération invalidante ! Une chirurgie peut rater et défigurer. Elle peut couper court. Je le dis avec humour, même si la géométrie semble porter l’image d’un sérieux indéfectible. Mais couper n’est jamais très bon si l’on oublie ce qui vient après. Couper n’est rien sans cicatriser. La blessure connaît des lèvres capables de se resouder, de former une suture qui pourrait définir le jeu même de l’espace. Toute blessure est alors l’événement d’une restauration. Elle forme une pérennité, ou peut-être quelque chose comme une mémoire dans le jeu de la variation. Elle laisse des traces, des circonflexions dont l’encorbellement demeure. L’empreinte, la trace sont opérantes. C’est une idée que je retrouve souvent chez Derrida, au niveau de l’écriture, de l’espace littéraire. J’avais rencontré ces empreintes ailleurs, notamment du côté du temps ; avec Perelman, je les retrouve dans l’espace.

Car un espace qui serait purement statique, amorphe, aurait un rapport fatal à sa dissémination. Après l’explosion, tout se tait : c’est fini, fin de partie, tout est perdu. Perelman envisage au contraire des formes qui comportent une certaine temporalité. Imaginez un élastique très puissant autour d’une pomme. On peut faire glisser son cercle, le rouler vers son pôle. D’une forme très large, l’élastique peut se resserrer jusqu’à devenir une zone étroite et, s’il est suffisamment tendu, presque un point. Si des pointes ou des étranglements empêchent ce mouvement, il faut les traiter, les raboter, les transformer. Le langage du scalpel ou du fil cisaillant est évidemment un peu violent : on imagine mal que l’espace soit muni de tels instruments ! Les flots font pourtant quelque chose de cet ordre par leur ressac. Ils creusent des trouées dans une falaise, aplanissent le terrain. Mais il y a toujours un moment de danger : il ne faudrait pas rompre la roche et faire s’effondrer l’arche d’Étretat (incroyable mot du reste). Il faut trouver un chemin qui passe juste avant le point d’effondrement, une voie d’eau qui se glisse sous la fragilité et poursuive sa route. Le flot use les aspérités, rabote les endroits les plus fragiles, et finit par produire une surface plus lisse, comme ces dalles de pierre que l’eau a lentement polies.

C’est un langage très imagé, très éloigné de l’équation, mais il permet de rendre sensible ce que Perelman fait avec ces processus de déformation. Il a appris beaucoup de choses de ce côté-là auprès de Richard Hamilton. Et cela devient pour moi très bergsonien, notamment avec cette idée de Bergson : « il faut attendre que le sucre fonde ». Attendre, patienter, laisser les tensions se répartir. Comme la chaleur qui se distribue sur une plaque suffisamment grande pour parvenir à un équilibre, l’explosion peut se pacifier, se diluer, se transformer. L’entropie avait souvent une image assez dévastatrice. Avec Perelman, elle peut prendre une allure créatrice : la négativité qui ronge les formes devient une fonction dans la transformation topologique de l’espace. L’univers peut se refroidir, modifier ses courbes de chaleur, redistribuer ses tensions, et pourtant continuer à se déformer sans perdre sa structure fondamentale. Une sphère de dimension trois peut prendre des allures très étranges, avec des anneaux dans des anneaux, des formes que l’on reconnaît à peine. J’aime assez bien une image, celle du popcorn : le grain de maïs éclate, devient presque méconnaissable, mais il reste pourtant le même grain. Il y a transformation sans disparition de l’invariant. L’espace porte ainsi quelque chose de son passé dans ses cicatrices et quelque chose de son avenir dans ses déformations. Et c’est peut-être cela qui me conduit vers l’idée bergsonienne d’une « évolution créatrice » : l’espace ne se contente pas de subir ses blessures, il les transforme en nouvelles possibilités de parcours.

 

Vous affirmez que les cicatrices forment une mémoire, une trace qui enveloppe l'univers dans son « évolution créatrice ». Si la sphère finale porte encore, en elle, l'histoire de ses découpes, si elle se souvient d'avoir été coupée, en quel sens est-elle encore « la plus simple » ?

Disons que Perelman entre dans le popcorn dont nous parlions, en retrouvant, à travers toutes ses déformations, une même nature. Le grain éclate, change complètement d’allure, mais quelque chose demeure. Et cette nature est justement capable, dans ses variations, de restaurer la topologie de la sphère dont Poincaré avait fait la conjecture. Ce qui m’intéresse dans cette affaire, c’est qu’on n’aborde plus la géométrie comme Kant, à partir de cette révolution copernicienne qui reste finalement très euclidienne. Chez Kant, tout tourne encore autour du sujet de la perception. D’où est-ce qu’on peut voir le système solaire avec Copernic ? On l’imagine comme si on pouvait se placer à l’extérieur, depuis une chaise qui survole le système et regarde les planètes tourner de très loin, de trop loin. Kant opère quelque chose de ce genre : l’objet gravite autour du sujet, autour de l’ego cogito, qui organise ses repères. Ici la gauche, là la droite, devant, derrière, ce qui est proche, ce qui est éloigné… Le sujet reçoit des impressions et les ordonne selon ses propres coordonnées. C’est ce qui conduira directement vers une phénoménologie, avec le corps propre, la chair du monde, et tout ce qui viendra complexifier cette première position. Mais on reste alors dans une sorte de redoublement : la géométrie demeure une re/présentation, une scène où se joue le théâtre cosmologique. C’est aussi pourquoi il devient difficile, dans ce cadre, de penser certaines transformations qui apparaissent au XIXᵉ siècle (avec Gauss, le plan complexe, les nombres imaginaires et les géométries qui ne se laissent plus ramener simplement à l’espace euclidien).

Perelman, au contraire, ne traite plus la géométrie de loin. Il ne se place pas à l’extérieur de la topologie de l’univers et il n’en constitue pas davantage le centre de convergence. Il entre dans les événements de l’espace lui-même. C’est là, pour moi, son génie : il traite l’espace dans sa simplicité propre, dans ce que j’appellerais son plan d’immanence. Et cela rejoint quelque chose que Bergson avait souhaité : qu’on cesse de séparer aussi radicalement matière et mémoire. Les flots de Ricci sont à l’œuvre dans les choses. On ne se contente plus d’un repérage qui viendrait, de loin, inscrire le monde sur un plan cartésien. C’est l’espace lui-même qui prend en quelque sorte la parole, qui trouve ses propres solutions pour poursuivre son chemin, prolonger son mouvement sans rompre, à partir de ses propres traces, de ses propres matrices. On est alors assez loin de la phénoménologie qui, depuis Husserl, fait du « retour aux choses mêmes » le résultat d’une intentionnalité humaine. Avec Perelman, il n’y a plus besoin de ce retour : les choses n’ont jamais quitté leur propre mouvement. L’espace travaille de l’intérieur. Il se déforme, il garde les traces de ses transformations, et c’est justement à travers cette mémoire de ses déformations qu’il peut retrouver une forme simple.

 

Avec Perelman, il devient inutile de séparer Matière et mémoire, que vous rapprochez de Bergson chez qui la mémoire est ce qui résiste à toute spatialisation, ce qui échappe au découpage géométrique du temps. La mémoire de l'espace, ses cicatrices, ses traces de chirurgie, est elle-même de nature géométrique, calculable, intégrée dans une équation. Y a-t-il un renversement du bergsonisme ou une continuité : une mémoire qui, loin d'échapper à l'espace, deviendrait l'espace même ?

 

Matière et mémoire est vraiment un titre assez étrange de Bergson, et sans doute son livre le plus difficile. D’abord, pour lui, tout est image. La matière elle-même est image : elle se densifie, se replie sur soi, reçoit des enveloppements et des développements géométriques qui épaississent sa texture, qui la travaillent en profondeur autant qu’en intériorité. L’image est déjà dans les choses. Un peu comme le vent laisse la trace de son balayage dans un champ de blé, ou comme les nuages prennent des formes qui permettent au flux de marquer ses vecteurs, jusqu’à la tempête avec son œil central. Toute conscience serait finalement un certain degré d’enveloppement d’une mémoire cosmologique de forme, de la tornade à la galaxie. Et puis, au centre du livre, Bergson développe cette image extraordinaire du cône, avec plusieurs niveaux où se distribuent des singularités que la mémoire associe. Elles sont comme lumineuses vers le sommet, tandis que la matière plonge dans une sorte d’obscurité, dans une densification qui superpose des feuillets de plus en plus massifs. Un fond sombre pour les vertiges de la matière. Mais la différence entre matière et mémoire n’est alors peut-être plus qu’une différence de degré : une manière différente d’associer les singularités, comme des constellations qui deviennent de moins en moins brillantes à mesure qu’elles descendent le long du cône.

Il y a donc déjà chez Bergson une géométrie conique, spatiale dans son essence. Mais ce n’est pas la quantification de l’espace. Le mouvement se libère du nombre et produit des sauts qualitatifs capables de faire émerger différents univers, diverses fibres ou élans. On pressent alors une conscience cosmologique dont la conscience humaine ne serait qu’un pli particulier. Et cela touche sans doute au spiritualisme de Bergson, qui me paraît, sur ce point, assez en avance sur son temps. Je n’ai pas développé tout cela directement dans Le silence de Perelman. Je me suis plutôt tourné vers une forme de réalité que Perelman vient, à mes yeux, conforter à travers les conjectures de Thurston. Notamment cette idée de formations et de fibrations qui restent virtuelles tout en ouvrant sur une multiplicité de mondes possibles. C’est ainsi que je rejoins mon idée déjà plus ancienne du plurivers. À la différence de Leibniz, qui sélectionne le meilleur des mondes possibles, Thurston permet plutôt de les faire exister tous, comme une multiplicité de blocs d’espaces diversement conformés (Photo 2).

Ce n’est pas du réalisme au sens vulgaire. C’est une plongée dans des formations virtuelles, dans des mondes possibles que j’essaie de dégager à la fin de mon essai d’une manière à la fois philosophique et littéraire. Car la littérature, l’espace littéraire, tient une place importante dans Le silence de Perelman. Elle permet elle aussi de traverser les différents feuillets de l’étendue, de faire communiquer des mondes qui ne sont pas immédiatement superposables. Alors, renversement du bergsonisme ? Je parlerais plutôt d’un prolongement et d’un déplacement. Chez Bergson, la mémoire semblait résister à la spatialisation ; ici, on peut imaginer une géométrie assez souple pour accueillir cette mémoire, pour faire de la trace non pas ce qui échappe à l’espace, mais ce qui travaille l’espace de l’intérieur. La mémoire ne serait plus derrière l’espace : elle serait une de ses puissances de transformation.

 

Les flots « parlent » de l'intérieur de l'espace, les cicatrices « font mémoire », les traces sont « opérantes » mais le silence de Perelman est-il un manque, une forme de discours, une manière pour l'espace, faute de sujet qui parle, de continuer à dire quelque chose par ses propres moyens ?

Je ne sais pas si les flots parlent. Ils tracent. Ils ouvrent des orientations, un peu comme la foudre avant de se décharger. Elle est anticipée par ce qu’on appelle des « précurseurs sombres », un schéma virtuel qui hante son chemin d’actualisation, son zigzag, un peu comme des diagonales dans une matrice. Ces précurseurs constituent une espèce de champ de vecteurs, avant que n’éclate l’éclair. Et cela enchaîne quelque chose comme une écriture, capable d’enclencher du sens, un sens pour le moins directionnel : un parcours, une expansion, une ligne d’expansion ou de contraction. Goethe parlait à propos de la nature d’un rythme, d’une systole et d’une diastole issues d’une sorte de protogéométrie. Il cherchait des formes primordiales, notamment dans son traité des couleurs, mais aussi dans ses réflexions sur les minéraux. C’est très intéressant, cette Naturphilosophie qui va déterminer ensuite certains concepts de Schelling et de Hegel. Depuis mon livre en 1998 L’âme du monde, en partant des lieux dans la Physique d’Aristote, je longe moi aussi ce tracé de l’espace, ses graphes les plus vitalistes.

Il y a en tout cas des signes dans l’espace que le mathématicien symbolise par des moyens conventionnels. Mais, un peu comme dans la poésie d’Yves Bonnefoy, ces signes peuvent produire un poème capable d’exprimer les flux du monde, ses planches courbes, mieux peut-être qu’une langue supposée naturelle. Il est assez étonnant que des signes arbitraires puissent produire un sens plus riche, plus réel, que des signes qui prétendraient imiter directement les choses. Je pense ici à ces signes égyptiens dont Platon disait qu’ils avaient quelque chose de naturel, comme si les mots pouvaient ressembler aux choses, comme si leur dessin pouvait immédiatement reproduire ce qu’ils désignent. Mais si cette langue naturelle est un mythe, alors la poésie autant que la géométrie peuvent à force de travail entrer dans l’expression de la nature, dans l’espacement de son sens.

Et c’est peut-être sur ce point que le silence de Perelman devient intéressant. Son silence n’est pas nécessairement un refus de tout langage. Il laisse plutôt apparaître une autre manière pour le monde de s’exprimer, à travers des traces, des formes, des équations, des flux. De plus en plus, les mathématiciens, par des moyens symboliques, construisent des matrices qui captent quelque chose comme la mémoire de l’espace, voire ses fantômes, pour reprendre un mot d’Alain Connes. La philosophie doit alors prendre connaissance de ces signes, non pour les traduire simplement dans son propre langage, mais pour inventer des concepts nouveaux à partir d’eux. Le silence de Perelman ne serait donc pas un vide à combler. Il ouvre au contraire un espace où le mathématicien disparaît derrière ce qu’il a laissé travailler : des formes, des traces, des chemins, une écriture de l’espace lui-même.

Jean-Clet Martin / Alexandre Gilbert

                                                     Jean-Clet Martin, le silence de Perelman, Kimé, Septembre 2026.